Есть расширение, которое называется VKopt (VKontakte Optimizator). После установки этого приложения - появляется нужная Вам функция «сохранить переписку». Как это осуществляется?
Переходим в диалог переписку из которого нужно сохранить. Далее жмем кнопку «действия» и появляется кнопка «Сохранить переписку». Жмем «окей» и сохраняем.